高中数学 第2章 解三角形章末综合提升学案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

第 2 章 解三角形[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]利用正、余弦定理解三角形【例 1】 在△ABC 中，∠A＝60°，c＝a．(1)求 sin C 的值；(2)若 a＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABC 中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得 sin C＝＝×＝．(2)因为 a＝7，所以 c＝a＝×7＝3，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A 得72＝b2＋32－2b×3×，解得 b＝8 或 b＝－5(舍去)，所以△ABC 的面积 S＝bcsin A＝×8×3×＝6．解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出一边所对的角；再由 A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角 A，B；再利用 A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝180°求出角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c，可有两解、一解或无解[跟进训练]1．(1)在△ABC 中，B＝，BC 边上的高等于 BC，则 cos A＝( )A． B．C．－ D．－(2)在△ABC 中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．(1)C [设△ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意可得 a＝csin＝c，则 a＝c．在△ABC 中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则 b＝c．由余弦定理，可得 cos A＝＝＝－．](2)[解] 设最小内角为 θ，三边长为 n－1，n，n＋1，由正弦定理，得＝，所以 n－1＝，所以 cos θ＝．由余弦定理的变形公式，得cos θ＝，所以＝，解得 n＝5．所以△ABC 的三边分别为 4,5,6．判断三角形的形状【例 2】 在△ABC 中，若＝，试判断△ABC 的形状．[解] 由已知＝＝＝得＝，以下可有两种解法：法一：(利用正弦定理边化角)由正弦定理得＝，∴＝，即 sin Ccos C＝sin Bcos B，即 sin 2C＝sin 2B， B、C 均为△ABC 的内角，∴2C＝2B 或 2C＋2B＝180°．∴B＝C 或 B＋C＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理角化边)由余弦定理得＝，即 a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)，解得 a2＝b2＋c2或 b2＝c2(即 b＝c)，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的...