第 1 讲 建模过程与几何相似性建模1、数学模型1.1 数学建模的一般过程为了解数学建模的过程，考虑图 1 所示的两个世界。假设我们要了解现实世界中的某些行为和现象，以便对该行为的未来作出预测并分析各种情境对该行为的影响。现实世界 数学世界 图 1 现实世界与数学世界例如，当讨论两个相互作用的物种的种群量时，我们需要知道在它们的环境中物种能否共存，或者是一个物种最终占支配地位而迫使另一个物种灭绝；在用药管理中，要知道正确的剂量以及保持在血液中药物的安全与有效水平的剂量之间的时间。怎样构建数学世界中的数学模型并利用数学模型系统观察到的行为或现象模型数学运算及法则数学结论帮助我们更好地了解现实世界中的系统呢？在讨论怎样把两个世界联系起来之前，先考虑什么是现实世界中的系统以及我们为什么对构建系统的数学模型感兴趣。一个系统就是由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系联结在一起的对象的集合体。建模者希望了解一个特定的系统是怎样工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感。建模者还希望预测系统会发生什么样的变化以及何时发生变化。怎样猎取这些信息呢？例如，假定目标是要从现实世界所观察到的现象中得出结论。一种方法就是对某些实际行为做试验或实验，然后观察它们对实际行为的影响。如图 2 所示。 观察 简化 简化 → → ↓试验 ↓分析 ↓验证 ↓分析 解释 解释 阐明 ← ←图 2 猎取有关系统的行为结论 图 3 作为封闭系统的建模过程尽管这种过程可能降低由不那么直接的方法所引起的保真性的丧式，但是某些情况下我们不希望遵循这种过程。例如，在诸如决定药物的致命溶度水平或者讨实际行为现实世界的结论模型数学的结论实际问题的数据实际的预测或解释模型数学的结论论核电厂故障对附近人口密集地区的辐射影响时，即使是单个试验的成本也可能高得令人不敢问津。或者，讨论有人操纵的宇宙飞船的热屏蔽不同设计的时，我们甚至可能不同意接受单次试验的失败。此外，在讨论电离层组成的特别的变化及其对极地冰帽相应的影响时，甚至不可能做实验。对图 2 的考察提示猎取有关现实世界的结论的另一种方法，首先对所讨论的行为做特定的观察并识别看来是有关联的因素。通常不可能考虑，或者甚至是识别行为所有有关联的因素，所以做出消去某些因素的假设。例如，当讨论来自核电厂故障造成的辐射影响时，至少开始时可以选择忽略湿度。其次，猜想所选择的因素之...
