第一讲：函数与数列的极限的强化练习题一、单项选择题1 ． 下 面 函 数 与为 同 一 函 数 的 是 （ ） 解 ：， 且 定 义 域， ∴选 D2．已知是的反函数，则的反函数是（ ） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选 A3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）解 ：的 定 义 域且∴选 C4．下列函数在内无界的是（ ） 解: 排除法：A 有界，B有界，C 故选 D5．数列有界是存在的（ ）A 必要条件 B 充分条件C 充分必要条件 D 无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛， 选 A6．当时，与为等价无穷小，则= （ ） A B 1 C 2 D -2解：， 选 C二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7．设，则的定义域为 解： ∴定义域为8．设则 解：（1）令 （2）9．函数的反函数是 解 ： （ 1 ）， 反 解 出：（2）互换位置，得反函数10． 解：原式 11．若则 解 ： 左 式 = 故12．= 解：当时，～ ∴原式== 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13．求函数的定义域解： ∴函数的定义域为14．设 求解： 故15 ． 设，的 反 函 数，求解: （1） 求 ∴反解出：互换位置得 (2)16．判别的奇偶性。解法（1）：的定义域，关于原点对称为奇函数解法（2）： 故为奇函数17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及解： 已知 即有得故 得故18．设，求的值。解： 故19．求解：（1）拆项，（2）原式=20．设求解： 原式=四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）21．设=，求=并讨论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性 有界 22．从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积 V 表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积 V=故（2）函数的定义域 故五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1) (2)令为偶函数(3)令为奇函数（ 4 ） 综 上 所 述 ：偶 函 数 +奇函数24 设满足函数方程 2+=，证明为奇函数。证：（1） 令 函数与自变量的记号无关（2）消去，求出 （3）的定义域又 为奇函数＊选做题1 已 知，求解: 且∴由夹逼定理知，原式 2 若 对 于 任 意 的， 函 数 满 足 ：，证明为奇函数...
