高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案

2.2.3 向量的数乘学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案 向量．思考 2 向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同．－3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．梳理 向量的数乘实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λa(a≠0)的方向当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝0.实数 λ 与向量 a 相乘，叫做向量的数乘．知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案 结合律，分配律．梳理 向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三 向量共线定理思考 若 b 与非零向量 a 共线，是否存在 λ 满足 b＝λa？若 b 与向量 a 共线呢？答案 若 b 与非零向量 a 共线，存在 λ 满足 b＝λa；若 b 与向量 a 共线，当 a＝0，b≠0时，不存在 λ 满足 b＝λa.梳理 (1)向量共线定理如果有一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.1．若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数 λ 使 b＝λa.( × )提示 当 b＝0，a＝0 时，实数 λ 不唯一．2．若 b＝λa，则 a 与 b 共线．( √ )提示 由向量共线定理可知其正确．3．若 λa＝0，则 a＝0.( × )提示 若 λa＝0，则 a＝0 或 λ＝0.类型一 向量数乘的基本运算例 1 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．解 [2(2a＋4b)－4(5a－2b)]＝(4a＋8b－20a＋8b)＝(－16a＋16b)＝－4a＋4b.(2)已知向量为 a，b，未知向量为 x，y，向量 a，b，x，y 满足关系式 3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量 x，y.解 由①×3＋②×2，得 x＝3a＋2b，代入①得 3×(3a＋2b)－2y＝...