高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-2 圆的一般方程学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

2.2 圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程 x2＋y2＋x＋1＝0 表示圆．( )(2)方程 2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )(3)任何二元二次方程都表示圆．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×题型一圆的一般方程的概念【典例 1】 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求：(1)实数 m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[思路导引] (1)根据表示圆的条件求 m 的取值范围．(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即 4m2＋4－4m2－20m＞0，解得 m＜，故 m 的取值范围为.(2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径 r＝.解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看 D2＋E2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[针对训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋2x＋y＋2＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．[解] (1) D＝2，E＝1，F＝2，∴D2＋E2－4F＝4＋1－8＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2) D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3) D＝2a，E＝－2a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝8a2>0，∴方程表示圆，它的圆心为(－a，a)，半径 r＝＝|a|.题型二求圆的一般方程【典例 2】 已知 A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点 M(a,2)在△ABC 的外接圆上，求 a 的值．[思路导引] 求圆的方程有两种形式可选：标准形式及一般式，分别代表了圆的几何特征与代数特征，根据已知选取合适的形式是解决问题的关键．[解] (1)设△ABC 外接圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得解得即△ABC 的外接圆的方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 点 M(a,2)在△ABC 的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即 a2－8a＋12＝0，解得 a＝2 或 6.[引申探究]...