高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-3-1 直线与圆的位置关系学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( )(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√题型一直线与圆的位置关系的判定【典例 1】 已知圆 C：x2＋y2＝1 与直线 y＝kx－3k，当 k 为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离. [解] 解法一(代数法)：联立消去 y, 整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0. Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1) ＝－32k2＋4＝4(1－8k2). (1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－.解法二(几何法)：圆心(0,0)到直线 y＝kx－3k 的距离 d＝＝.由条件知，圆的半径为 r＝1. (1)当直线与圆相交时，dr, 即>1，得 k<－或 k>. 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[针对训练 1] (1)直线 x－ky＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( )A．相交 B．相离C．相交或相切D．相切(2)过点 P(－，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是________．[解析] (1)由直线 x－ky＋1＝0 恒过定点(－1,0), 而(－1,0)恰在圆 x2＋y2＝1 上，故直线与圆至少有一个公共点，故选 C. (2)当直线 l 斜率不存在时，直线 l 与圆 x2＋y2＝1 没有公共点，故可设直线 y＋1＝k(x＋)，即 kx－y＋k－1＝0，圆心到直线的距离≤1，解得 0≤k≤，即 0≤tanα≤，即 0≤α≤.[答案] (1)C (2)题型二圆的切线问题【典例 2】 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方程．[思路导引] 设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，注意斜率不存在的情况．[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－4)...