3．3 空间两点间的距离公式学 习 目 标核 心 素 养1.会推导和应用长方体对角线长公式．(重点)2.会推导空间两点间的距离公式．(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)1.通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养.2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养.1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点 A，C′的线段 AC′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，那么对角线长 d＝.2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点 P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝.(2)空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝.思考：空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系？提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝；②在 x 轴上的两点 A，B 对应的实数分别是 x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.1．空间直角坐标系中，点 A(－3,4,0)和点 B(2，－1,6)的距离是( )A．2 B．2 C．9 D.D [|AB|＝＝.]2．在空间直角坐标系中，设 A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝，则实数 a 的值是( )A．3 或 5 B．－3 或－5C．3 或－5 D．－3 或 5A [由题意得|AB|＝＝，解得 a＝3 或 5，故选 A.]3．已知点 A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在 z 轴上有一点 P，使|PA|＝|PB|，则点 P 的坐标是________．(0,0,6) [设点 P(0,0，z)，则由|PA|＝|PB|，得＝，解得 z＝6，即点 P 的坐标是(0,0,6)．]求空间两点间的距离【例 1】 已知△ABC 的三个顶点 A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．(1)求△ABC 中最短边的边长；(2)求 AC 边上中线的长度．[解] (1)由空间两点间距离公式得|AB|＝＝3，|BC|＝＝，|AC|＝＝，∴△ABC 中最短边是|BC|，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为，∴AC 边上中线的长度为＝.1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．1．如果点 P 在 z 轴上，且满足|PO|＝1(O 是坐标原点)，则点 P 到点 A(1,1,1)的距离是________．或 [由题意得 P(0,0,1)或 P(0,0，－1)，所以|PA|＝＝，或|PA|＝＝.]求空间点的坐标【例 2】 已知 A(x,5－x,2x－1)...
