§5 从力做的功到向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养．2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题．提升数学运算素养.1．向量的夹角定义已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫作向量 a 与 b的夹角范围0°≤θ≤180°特例θ＝0°a 与 b 同向θ＝180°a 与 b 反向θ＝90°a 与 b 垂直，记作 a⊥b，规定 0 可与任一向量垂直思考 1：△ABC 为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？[提示] 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD，则BD＝a， △ABC 为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量 a 与 b 的夹角为 120°.2．向量的数量积(1)射影| b |cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积已知两个非零向量 a 与 b，我们把|a||b| cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b| cos θ ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为 0.(4)几何意义a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上射影| b |cos θ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos θ 的乘积．(5)性质① 若 e 是单位向量，则 e·a＝a·e＝|a|cos θ.② 若 a⊥b，则 a·b ＝ 0 ；反之，若 a·b＝0，则 a⊥b，通常记作 a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .③|a|＝＝.④cos θ＝(|a||b|≠0)．⑤ 对任意两个向量 a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当 a∥b 时等号成立．(6)运算律已知向量 a，b，c 与实数 λ，则：① 交换律：a·b＝b·a；② 结合律：(λa)·b＝λ ( a·b ) ＝a ·( λ b ) ；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.思考 2：向量 b 在向量 a 上的射影与向量 a 在向量 b 上的射影相同吗？[提示] 如图所示，OA＝a，OB＝b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的射影，|a|cos θ 叫作向量 a 在 b 方向上的射影．1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在 b 方向...
