第 2 章 平面向量章末分层突破[自我校对]① 坐标② 平行四边形③|a|＝④cos θ＝向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算，其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形． 如图 21 所示，在△ABC 中，点 M 为 AB 的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点 E，设1AB＝a，AC＝b，试以 a，b 为基底表示AE.图 21【精彩点拨】 先由 C，E，M 三点共线⇒AE＝μAM＋(1－μ)AC，由 B，E，N 三点共线⇒AE＝λAN＋(1－λ)AB，再由AB，AC不共线求 λ，μ 的值．【规范解答】 AN＝AC＝b，AM＝AB＝a，由 N，E，B 三点共线知存在实数 λ 满足AE＝λAN＋(1－λ)AB＝λb＋(1－λ)a.由 C，E，M 三点共线知存在实数 μ 满足AE＝μAM＋(1－μ)AC＝a＋(1－μ)b.∴解得∴AE＝a＋b.[再练一题]1．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若 ka＋2b 与 2a－4b 平行，求实数 k 的值．【解】 ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)，由(ka＋2b)∥(2a－4b)得(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，解得 k＝－1.向量的数量积运算数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平行问题a∥b⇔x1y2－x2y1＝0垂直问题a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.求向量的模及夹角问题，(1)设 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝；(2)两向量 a，b 夹角 θ 的余弦(0≤θ≤π)，cos θ＝＝. 设向量OA＝a，OB＝b，且|OA|＝|OB|＝4，∠AOB＝60°.(1)求|a＋b|，|a－b|；(2)求 a＋b 与 a 的夹角 θ1，a－b 与 a 的夹角 θ2.【精彩点拨】 利用|a±b|＝求解；利用 cos θ＝求夹角．【规范解答】 (1) |a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48，∴|a＋b|＝4，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16，∴|a－b|＝4.(2) (a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24，∴cos θ1＝＝＝. θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.2 (a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8，∴cos θ2＝＝＝. θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.[再练一题]2．已知 c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b 与 c 的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数 m，n的值及 a 与 b 的夹角．【解】 c＝(－2，2)，∴|c|＝4，又 a⊥c，∴a·c＝0. b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4，∴|b|＝2，又 c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n...
