章末整合考点一 向量的线性运算1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB＋BC＝AC向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa
共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x，使AP＝xAB，或对直线外任意一点 O，有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量 e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2
其中 e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 M、N 分别是 DA、BC 的中点，且＝k，设AD＝e1，AB＝e2，以 e1、e2为基底表示向量DC、BC、MN
[解] AB＝e2，且＝k，∴DC＝kAB＝ke2
AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD＝e1＋(k－1)e2
又 MN＋NB＋BA＋AM＝0，且NB＝－BC，AM＝AD，∴MN＝－AM－BA－NB＝－AD＋AB＋BC＝e2
