高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

等比数列的前 n 项和一、考点突破知识点课标要求题型说明等比数列的前项和1. 掌握等比数列前 n项和的公式；能运用公式解决一些简单问题。2. 掌握等比数列前项和的推理证明。选择题填空题解答题对 于 q ＝ 1 这 一特殊情况，往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别注意. 注意掌握错位相减这种求和方法。二、重难点提示重点：等比数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用。难点：等比数列的前 n 项和公式的推导。考点一：等比数列的前 n 项和公式【核心突破】1. 知三求二：由等比数列的通项公式及前项和公式可知，已知中任意三个，便可建立方程组求出另外两个。2. 在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比 q 是否为 1。3. 当时，若已知及，则用公式较好；若已知，则用公式较好。4. 注意其推导方法——错位相减法若 q＝1，则 Sn＝na1。若 q≠1， Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①所以两边同乘以 q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn。 ②①－②得（1－q）Sn＝a1－a1qn，∴当 q≠1 时，Sn＝，Sn＝注意：错位相减法，它特别适用于求一个等差数列与一个等比数列各项对应的积组成的新数列的前项的和。考点二：等比数列的前项和公式的一些性质（1）连续项的和（如…）仍组成等比数列。（注意：这连续n 项的和必须非零才能成立）证明如下：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，当 q＝1 时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，显然 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列。当 q≠1 时，Sn＝S2n＝S3n＝则 S2n－Sn＝S3n－S2n＝＝∴（S2n－Sn）2＝Sn（S3n－S2n）＝＝∴Sn·（S3n－S2n）＝（S2n－Sn）2，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列。（2）为比数列（3）为公比）（4）若{an}共 2n（n∈N*）项，则＝q。注意：运 用 性 质 （ 1 ） 可 以 快 速 地 求 某 些 和 ， 但 在 运 用 此 性 质 时 ， 要 注 意 的 是…成等比数列，而不是…成等比数列。例题 1 （等比数列前 n 项和公式的应用）在等比数列{an}中：（1）已知 a1＝－1.5，a7＝－96，求 q 和 Sn；（2）已知 q＝，S5＝－，求 a1和 an；（3）已知 a1＝2，S3＝26，求 q 和 an。思路分析：解决本题可由通项公式或前 n 项和公式列出基本量 a1，q 的方程或方程组，先求 a1，q 再求其他量。答案：（1） a7＝a1q6，∴q6＝＝＝26，∴q＝±2。当 q＝2 时，Sn＝＝－3×2n－1；当...