高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第二课时) [教材研读]预习课本 P129～131，思考以下问题1．如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？ 2．公式 T(α±β)的应用条件是什么？ [要点梳理]两角和与差的正切公式[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )2．tan 能根据公式 tan(α＋β)直接展开．( )3．存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ 成立．( )[答案] 1.√ 2.× 3.√思考：公式 T(α±β)的结构有何特征，符号有何规律？提示：公式 T(α±β)的右侧是分式形式，分子是 α，β 的正切的和或差，分母是 1 与tanαtanβ 的差或和．分子与分母的符号相反，分子与公式左侧的符号相同．求值：(1)tan(－15°)；(2)；(3)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.[思路导引] (1)15°＝45°－30°利用两角差的正切公式求解；(2)考查两角和的正切 公 式 的 逆 用 ； (3) 为 正 切 公 式 的 变 形 形 式 ， 由 tan23° ＋ tan37° ＝ tan60°(1 －tan23°·tan37°)求解．[解] (1)tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝＝2－，tan(－15°)＝－tan15°＝－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－.(3) tan60°＝＝，∴tan23°＋tan37°＝－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝. 利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”，“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[跟踪训练]求值：(1)tan75°；(2).[解] (1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋(2)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1已知 cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求 tanβ 及 tan(2α－β)．[思路导引] 由已知可求得 sinα 的值，则可求得 tanα，因为 β＝α－(α－β)及2α－β＝α＋(α－β)，所以 tanβ＝tan[α－(α－β)]及 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]，再利用两角和与差的正切公式求解．[解] ...