高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点)2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明．(重点)3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用．(难点、易混点)1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养.2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin 2α＝2sin α cos α C2αcos 2α＝cos 2 α － sin 2 α T2αtan 2α＝2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.(2)1±sin 2α＝(sin α ±cos α ) 2 .思考：用 tan α 能表示 sin 2α 和 cos 2α 吗？[提示] 可以．sin 2α＝2sin αcos α＝.cos 2α＝cos2α－sin2α＝.1.＝( )A．－ B．－C. D.D [原式＝cos2－sin2＝cos＝.]2．sin 15°cos 15°＝ . [sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]3.－cos2＝ .－ [－cos2＝＝－cos＝－.]4．若 tan θ＝2 则 tan 2θ＝ .－ [tan 2θ＝＝＝－.]给角求值【例 1】 (1)cos4－sin4等于( )A．－ B．－C. D.(2)求下列各式的值．①1－2sin2750°；②；③coscos.(1)D [原式＝＝cos2－sin2＝cos＝.](2)[解] ①原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos＝cos 60°＝.② 原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.③ 原式＝＝＝＝＝.对于给角求值问题一般有两类：1 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟进训练]1．求下列各式的值(1)cos 72°cos 36°；(2)＋.[解] (1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.给值求值、求角问题[探究问题]1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.2．如何在倍角公式中用 2α±＝2(α±)解题？提示：(1)sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－...