第 3 章 三角恒等变形三角恒等变形三角函数的求值问题【例 1】 已知 tan＝－，且<α<π，求的值．[解] ＝＝2cos α. tan＝＝－，∴tan α＝－3， α∈，∴cos α＝－，∴＝2cos α＝2×＝－.三角函数求值主要有三种类型，即：1“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.2“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.3“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.1．已知 0<α<，0<β<，且 3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求 α＋β 的值．[解] 3sin β＝sin(2α＋β)，即 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，整理得 2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.即 tan(α＋β)＝2tan α.又 4tan ＝1－tan2 ，∴tan α＝＝，tan(α＋β) ＝2tan α＝2×＝1. α＋β∈，∴α＋β＝.三角函数式的化简【例 2】 化简.[解] 原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.2．化简 sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.[解] 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.三角恒等变换【例 3】 求证：··＝tan.[证明] 左边＝··＝＝＝＝＝＝tan ＝右边．∴等式成立．1．三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角...
