4.2.2 对数的运算性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的核心素养．回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如 loga(MN)＝？1．符号表示如果 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM ＋ log aN；(2)loga＝logaM － log aN；(3)logaMn＝n log aM ( n ∈ R ) ．2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的 n 次幂的对数等于 n 倍 的该数的对数．3．换底公式一般地，我们有 logaN＝，(其中 a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)loga b·logb a＝1(a，b>0 且 a，b≠1)；(2) ＝loga b (a，b>0 且 a，b≠1，m≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( )(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．( )[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2 不能作真数．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(1)log2 25－log2 ＝ ；(2)log2 8＝ ．(1)2 (2)3 [(1)log2 25－log2 ＝log2 25×＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2．(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3．]3．若 lg 5＝a，lg 7＝b，用 a，b 表示 log75＝ ． [log75＝＝．]对数运算性质的应用【例 1】 计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log－log5 －log5 14；(3)[(1－log6 3)2＋log6 2·log6 18]÷log6 4．[思路点拨] 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．[解] (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1．(2)原式＝log5 ＋2log2＝log5 53－1＝2．(3)原式＝[(log6 6－log6 3)2＋log6 2·log6(2·32)]÷log6 4＝÷log6 22＝[(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log6 2·log6 3]÷2log6 2＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1．1．对于同底的对数的化简常用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数...
