高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.3 两角和与差的正切函数学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式 T(α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过 T(α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且 tan α·tan β≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且 tan α·tan β≠－1(1)变形公式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－.(2)公式的特例tan＝；tan＝.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？[提示] tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以 cos αcos β，便可得到．1．若 tan α＝3，tan β＝，则 tan(α－β)＝( )A． B． C．－ D．－3A [因为 tan α＝3，tan β＝，所以 tan(α－β)＝＝＝.]2．设 α，β∈，且 tan α＝，tan β＝，则 α－β 等于( )A. B.C.D.－D [tan(α－β)＝＝＝－1. －＜α－β＜，∴α－β＝－.]3.的值为( )A.B．－C.D．－C [原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.]4.＝________. [＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝.]化简求值【例 1】 求下列各式的值：(1)；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.[解] (1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.(2) tan 45°＝＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.1．(1)；(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.[解] (1) tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.∴＝＝＝＝－.(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°＝tan 60°－tan 10°...