7．4 几何问题的代数解法[学习目标]1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题．[预习导引]1．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答．要点一 用解析法证明几何问题例 1 △ABD 和△BCE 是边 AB，BC 在直线 AC 上且位于直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.证明 如图，以 B 点为坐标原点，取 AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为 a，c，则A(－a，0)，E(，c)，C(c，0)，D(－，a)，于是|AE|＝＝＝.|CD|＝＝＝.所以|AE|＝|CD|.规律方法 坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量．第二步：进行有关代数运算．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪演练 1 在△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC 为等腰三角形．证明 如图，作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．设 A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由两点间的距离公式，得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又 d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以△ABC 为等腰三角形．要点二 代数问题的几何解法例 2 求函数 y＝－的值域．解 显然函数的定义域为 R，y＝－＝－.设 P(x，0)，A(，)，B(－，)为平面上三点，则|PA|＝＝，|PB|＝＝.y＝|PB|－|PA|. ||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，∴|y|<1，即－1
