高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦学案 新人教B版第三册-新人教B版高一第三册数学学案

8.2.1 两角和与差的余弦学 习 目 标核 心 素 养1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_α cos _β － sin _α sin _β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_α cos _β ＋ sin _α sin _β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角 α、β 终边与单位圆交点 P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点 P 为例，若设 P(x，y)，则 sin α＝，cos α＝，所以 x＝cos α，y＝sin α，即点 P 坐标为(cos α，sin α).1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )A． B． C． D．A [原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝.]2.化简 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β 为( )A．sin(2α＋β)B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC [原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________. [cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]利用两角和与差的余弦公式化简求值【例 1】(1)cos 345°的值等于( )A． B．C．D．－(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C [cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.](2)[解] ①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝，所以原式＝.② 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β 可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直...