高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．复合函数的概念一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y ＝ f ( g ( x )) ． 思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u· u ′ x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． [基础自测]1．思考辨析(1)函数 f(x)＝是复合函数．( )(2)函数 f(x)＝ln(1－x)的导数是 f′(x)＝.( )(3)函数 f(x)＝sin(－x)的导数为 f′(x)＝cos x．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数 y＝的导数是( )A． B．C．－D．－C [ y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．函数 y＝是由________三个函数复合而成的．[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x[合 作 探 究·攻 重 难]复合函数的导数 求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【导学号：31062030】[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu和 u＝2x＋1 的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数 y＝可看作函数 y＝u－3和 u＝2x－1 的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.[规律方法] 1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟踪训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝.[解] (1)令 ...