高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数课堂导学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

1.1 周期现象与周期函数课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例 1】 走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？解:如右图，以 ON 代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到 OP 位置，设 θ=∠PON 为摆动的幅角，而 y 为 P 点离开直线 ON 的水平距离，r 为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知：y=rsinθ.友情提示 实际生活中有许多呈周期性变化的规律,比如:月亮的圆缺;年,月,日,星期的记时;海水的涨落,这些都是呈周期性变化的.各个击破类题演练 1时钟钟摆的摆动呈什么规律，根据你平时的观察用文字叙述一下.答案:钟表的钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点.完成一个周期.变式提升 1举出你生活中常见的具有周期性的实例.答案：转动的车轮、月亮的圆缺、星期记时、红绿灯的变换.2.求函数的周期【例 2】 已知函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x-2)，求证：函数 y=f(x)的周期为 4.证明：令 x-2=t，则 x=t+2，于是由 f(x+2)=f(x-2),得 f(t)=f［(t+2)+2］=f(t+4).由周期函数的定义知：函数 y=f(x)的周期为 4.友情提示 证明周期函数最常用的是定义，此类问题中常用换元法，把括号内的代数式看作整体 ，用新的自变量代替，再按定义求解.类题演练 2判断函数 y=lgx 是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.解：取定义域内一个值 x0=1.由于 f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1(T＞0 的常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.变式提升 2已知定义在实数集上的函数 f(x)始终满足 f(x+2)=-f(x).判断 y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.解：∵f(x+4)=f［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x),∴f(x)是周期函数，且周期是 4.3.判断函数是否具有周期性【例 3】 求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=2sin(2x-).思路分析：本题主要考查 y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法，利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于 f(x+π)=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为 π.（2）由于 f(x+π)=2sin［2(x+π)-］=2sin［2x+2π-］=2sin(2x-)=f(x),由周期函数的定义知，原函数的周期为 π.类题演练 3证明 y=x3不是周期函数.证明：因为 y=x3在 x∈R 上单调，设 y 取值 a,方程 x3=a 不可能有两个不同的根，即不存在这样的常数 T，使得 f(x0+T)=f(x0).因此，y=x3不是周期函数.变式提升 3证明 f(x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.证明：f(x)=1 对任意 T≠0，都有 f(x+T)=f(x)=1,所以此函数为周期函数，其周期为任意非零实数，但所有正实数中没有最小值存在,故无最小正周期.