高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

1.2.2 同角三角函数关系课堂导学三点剖析1.同角三角函数关系【例 1】已知 sinθ-cosθ=,则 sin3θ-cos3θ=__________________.思路分析：把 sin3θ-cos3θ 变形凑出含有 sinθ-cosθ 的代数式代入求值.解析 ： sinθ-cosθ=,∴(sinθ-cosθ)2=.∴1-2sinθcosθ=.∴sinθ·cosθ=.∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)=·(1+)=.答案：温馨提示 若 已 知 sinα-cosα 与 sinα+cosα 其 中 一 个 条 件 ， 求 sin2α·cos2 α,sin3α±cos3α 时，常用凑出 sinα·cosα 与 sinα±cosα 的关系来变化.2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式【例 2】 已知 cosα=,求 sinα 及 tanα 的值.思路分析：用同角三角函数关系解题.解： cosα＜0,且 cosα≠-1∴α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角，那么sinα=.tanα==×(-)=.如果 α 是第三象限角，那么sinα=-,tan α=.温馨提示 (1)要会用公式 sin2α+cos2α=1 的变形sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.【例 3】求证：.思路分析 1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.证法 1：左边=====右边.∴原式成立.思路分析 2：注意到欲证式中只含有一个角 θ 的函数，因此可用三角函数定义证明.证法 2：设 P（x,y）是象限角 θ 终边上一点，|OP|=r＞0,则由三角函数的定义知：sinθ=,cosθ=,且 x2+y2=r2.所以，左式====右式.故原式成立.思路分析 3：考虑到 A=BA-B=0,故此题可采用比较法.证法 3：因为-==,所以.3.关于“1”的变换【例 4】 已知 tanα=2,求 sin2α-3sinαcosα+1 的值.思路分析：主要应用“1”的变换.解：sin2α-3sinαcosα+1=sin2α-3sinαcosα+(sin2α+cos2α)=2sin2α-3sinαcosα+cos2 α=.温馨提示 已知 tanα 的值，求形如 asin2α+bsinαcosα+ccos2α 的值，可将分母 1 化为1=sin2α+cos2α 代入，从而转化为关于 tanα 的表达式后再求值.各个击破类题演练 1已知=-1,求值..解析：由已知，tan α=,所以，变式提升 1已知 tanα 为非零实数，用 tanα 表示 sinα,cosα.解： sin2 α+cos2 α=1,∴sin2α=1-cos2α.又 =tanα,∴tan2α=.于是=1+tan2α cos...