1.3.3 已知三角函数值求角 [学习目标] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号 arcsin x，arccos x，arctan x 的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接] 已知角 x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．[预习导引]1．arcsin y 的含义一般地，对于正弦函数 y＝sin x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的 x值和它对应，记为 x ＝ arcsin _y，即 arcsin y(|y|≤1)表示上正弦值等于 y 的一个角．2．arccos y 的含义一般的对于余弦函数 y＝cos x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1]，那么在[0 ， π] 上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arccos_y(－1≤y ≤1,0≤x≤π)．3．arctan y 的含义一般地，如果正切函数 y＝tan x(y∈R)且 x∈，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan_y.要点一 已知正弦值，求角例 1 已知 sin＝－，求 x.解 设 x－＝t，则有 sin t＝－.t∈时，t＝arcsin，又 sin t＝－，所以 t 是第三、四象限角，且 t1＝arcsin 是第四象限角．又 sin＝sin＝－，且 π－arcsin 是第三象限角，所以 t2＝π－arcsin.由正弦函数周期性可知t＝2kπ＋t1或 t＝2kπ＋t2(k∈Z)时，sin x＝－.所以 t＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，或 t＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．因此 x 的集合为，.规律方法 方程 y＝sin x＝a，|a|≤1 的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}．也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}．跟踪演练 1 已知 sin x＝.(1)当 x∈时，求 x 的取值集合；(2)当 x∈[0,2π]时，求 x 的取值集合；(3)当 x∈R 时，求 x 的取值集合．解 (1) y＝sin x 在上是增函数，且知 sin＝.∴满足条件的角只有 x＝.∴x 的取值集合为.(2) sin x＝>0，∴x 为第一或第二象限角且 sin＝sin＝.∴在[0,2π]上符合条件的角 x＝或 x＝.∴x 的取值集合为.(3)当 x∈R 时，x 的取值集合为.要点二 已知余弦值，求角例 2 已知 cos x＝－.(1)当 x∈[0，π]时，求 x；(2)当 x∈[0,2π]时，求 x；(3)当 x∈R 时，求 x 的取值集合．解 (1) cos x＝－，且 x∈[0，π]，∴x＝arccos＝π－arccos.(2) x∈[0,2π]...
