3 已知三角函数值求角 [学习目标] 1
掌握已知三角函数值求角的步骤和方法
了解符号 arcsin x，arccos x，arctan x 的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接] 已知角 x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗
答 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．[预习导引]1．arcsin y 的含义一般地，对于正弦函数 y＝sin x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的 x值和它对应，记为 x ＝ arcsin _y，即 arcsin y(|y|≤1)表示上正弦值等于 y 的一个角．2．arccos y 的含义一般的对于余弦函数 y＝cos x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1]，那么在[0 ， π] 上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arccos_y(－1≤y ≤1,0≤x≤π)．3．arctan y 的含义一般地，如果正切函数 y＝tan x(y∈R)且 x∈，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan_y
要点一 已知正弦值，求角例 1 已知 sin＝－，求 x
解 设 x－＝t，则有 sin t＝－
t∈时，t＝arcsin，又 sin t＝－，所以 t 是第三、四象限角，且 t1＝arcsin 是第四象限角．又 sin＝sin＝－，且 π－arcsin 是第三象限角，所以 t2＝π－arcsin
由正弦函数周期性可知t＝2kπ＋t1或 t＝2kπ＋t2(k∈Z)时，sin x＝－
所以 t＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，或 t＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．因此 x 的集合为，
规律方法 方程 y＝sin x＝a，|a|≤1 的解集可写为{x|x＝2kπ
