高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的定义课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

1.2.1 三角函数的定义课堂探究探究一 三角函数的定义利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：(1)若已知角 α 终边上有一不同于坐标原点的任意一点 P(x，y)，则首先求 r＝，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝；(2)若已知角 α 终边所在的位置，只需从终边上取点 P(不同于坐标原点)，利用三角函数的定义求值；(3)若已知角 α 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sin α，cos α，tan α 的值．解：r＝＝5|a|．若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限，则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－；若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．反思 当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．【例 2】 已知角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋3sec α 的值．分析：先确定角 α 终边上一个点(不同于坐标原点)的坐标，然后利用三角函数的定义求得 sin α，sec α 的值，进而求出代数式的值．解：因为角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上，所以角 α 的终边可能落在第二象限或第四象限．若角 α 的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1,3)，所以 r＝＝．所以 sin α＝＝，sec α＝＝－，所以 10sin α＋3sec α＝10×＋3×(－)＝0．若角 α 的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)，所以 r＝＝．所以 sin α＝－，sec α＝＝．所以 10sin α＋3sec α＝10×＋3×＝0．综上所述，10sin α＋3sec α＝0．反思 要正确理解角的终边在直线上的意义，因为角的终边是射线，所以可能出现两种情况，解题时要注意分类讨论．探究二 判断三角函数值的符号三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．【例 3】 判断下列三角函数值的符号．(1) (θ 为第二象限的角)；(2)sin 3·cos 4·tan 5·cot 6．分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式子的结构特点及每部分的符号．解：(1)因为 θ 是第二象限的角，所以 sin θ＞0，cos θ＜0...