5.2 正弦函数的性质学习目标 1.理解正弦函数 y＝sin x，x∈R 的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．知识点 1 正弦函数的性质函数正弦函数 y＝sin x，x∈R图像定义域R值域[－1,1]最值当 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当 x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1周期性是周期函数，周期为 2kπ(k∈Z，k≠0),2π 是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数对称轴x＝＋kπ，k∈Z对称中心(kπ，0)，k∈Z【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝sin(－x)为奇函数(√).(2)函数 y＝sin x，x∈[－，]的值域是[－，](×).(3)函数 y＝sin x 在[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是单调递增的(√).(4)函数 y＝sin x 在第一象限内是递增的(×).题型一 与正弦函数有关的值域问题【例 1】 求下列函数的值域：(1)y＝sin(2x－)，x∈[0，]；(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2.解 (1) 0≤x≤，∴0≤2x≤π，－≤2x－≤，令 2x－＝t，则原式转化为 y＝sin t，t∈[－，]．由 y＝sin t 的图像知－≤y≤1，∴原函数的值域为[－，1]．(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2＝－2(sin x－)2＋. －1≤sin x≤1，∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数 y＝－2sin2x＋5sin x－2 的值域是[－9,1]．规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集注意灵活选择一个周期的图像．2．求值域时，注意：(1)利用 sin x 的有界性；(2)利用 y＝sin x 的单调性．【训练 1】 (1)函数 y＝2sin x＋1 的值域是( )A．[1＋，3]B．[1＋，3]C．[1－，1＋]D．[－1,3](2)设函数 y＝sin x 的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是________．①b－a 的最小值为；②b－a 的最大值为；③a 不可能等于 2kπ－(k∈Z)；④b 不可能等于 2kπ－(k∈Z)．解析 (1)画出函数 y＝2sin x＋1(≤x≤)的图像如图所示，当 x＝或 x＝时，最小值为 1＋；当 x＝，最大值为 3.(2)由图像知，b－a 的最大值为(如 a＝－，b＝)；在 b－a 取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1 的最小值点在[a，b]内，所以 b－a 的最小值为，b 可能等于 2kπ－(k∈Z)．若 a＝2kπ－(k∈Z)，则由图像可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1.所以 a 不可...
