5．2 正弦函数的性质知识点 正弦函数的图像和性质 [填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着 x 值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k，ω>0 的函数，可把 ωx＋φ 视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，直接写出 ωx＋φ 的单调区间，再解关于 x 的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如 sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或 sin(ωx＋φ)
0)的正弦函数不等式，可把 ωx＋φ 视为一个整体，借助 y＝sinx，x∈R 的图像和单调性，先在长度为 2π 的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上 2kπ，k∈Z，把它扩展到整个定义域上，最后解关于 x 的不等式，便可求出 x 的解．1．对周期函数定义的五点说明(1)T 是非零常数．(2)任意 x∈D，都有 x＋T∈D，T≠0，所以周期函数的定义域一定是无界的．(3)任取 x∈D，就是取遍 D 中的每一个 x，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个 x 都满足 f(x＋T)＝f(x)成立才行．若只有个别 x 满足 f(x＋T)＝f(x)，不能把 T 看作周期，如 sin(＋)＝sin，但 sin(＋)≠sin，所以不是 y＝sin x 的周期．(4)周期也可递推，若 T 是 y＝f(x)的周期，那么 2T 也是 y＝f(x)的周期．这是因为 f(2T＋x)＝f[T＋(T＋x)]＝f(T＋x)＝f(x)，所以若 T 是 y＝f(x)的周期，k∈Z 且 k≠0，则 kT 也是 f(x)的周期．(5)并不是所有的函数都是周期函数．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那个最小正数，这个正数是对 x 而言的，如 y＝sin 2x 的最小正周期是 π，因为 y＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，即 π 是使函数值重复出现的自变量 x 加上的最小正数，π 是对 x 而言的，而非 2x.(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数 f(x)＝C，任一个正实数都是它的周...
