高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

§6 余弦函数的图像与性质知识点一 余弦函数的图像 [填一填]1．(1)余弦函数 y＝cosx 的图像可以通过将正弦曲线 y＝sinx 向左平移个单位长度得到．(2)余弦函数 y＝cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线．图像如下：[答一答]1．为什么说在同一直角坐标系中正弦函数、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同？提示：函数的图像经过左右平移后，其形状未发生变化，只是在坐标系中的位置发生了变化．由平移变换，知函数 f(x)＝sinx 的图像向左平移个单位长度得函数 f(x＋)＝sin(x＋)的图像．根据诱导公式 sin(x＋)＝cosx，知平移后的图像就是余弦函数 f(x)＝cosx 的图像．由此可见，在同一直角坐标系中正弦函数、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同．由于 sin(2kπ＋＋x)＝cosx(k∈Z)，sin(－2kπ－＋x)＝cosx(k∈Z)，则将正弦函数的图像向左平移 2kπ＋(k∈Z)个单位长度或向右平移 2kπ＋(k∈Z)个单位长度均得到余弦函数的图像．这样通过数和形两方面来分析，就真正明确了其中的正弦函数、余弦函数图像的关系 ，有利于帮助我们解决有关三角函数图像的问题．知识点二 余弦函数的性质 [填一填]2．余弦函数的性质[答一答]2．(1)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的单调性与哪些量的符号有关？提示：(1)因为余弦函数的对称中心不是原点，所以它不是奇函数．而余弦函数的对称轴是 y 轴，因此它是偶函数．(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的单调性与 A，ω 的正负号有关．1．余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法．(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论．即数形结合思想的运用．2．余弦函数的对称性(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与 x 轴的交点，此时的余弦值为 0.(2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为 x＝kπ(k∈Z)，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．3．余弦函数的周期性类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为 2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z 且 k≠0,1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式 cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出．4．对余弦函数最值的三点说明(1)明确余弦函数的有界性，即－1≤cos x≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是 1 或－1，要依赖函数定...