高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标 1.掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).2.理解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)．知识点 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质定义域R值域[ － A ， A ] 周期T＝奇偶性φ ＝ k π ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由 ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得对称中心由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得【预习评价】(1)函数 y＝2sin(2x＋)＋1 的最大值是( )A．1B．2 C．3D．4解析 当 2x＋＝2kπ＋时，即 x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为 3.答案 C(2)函数 f(x)＝sin 的最小正周期为( )A．4π B．2π C．π D.解析 由题意 T＝＝π，故选 C.答案 C题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题【例 1】 求函数 y＝sin，x∈的值域．解 0≤x≤，∴0≤2x≤π.∴≤2x＋≤.∴－≤sin≤1.∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.∴函数 y＝sin，x∈的值域为[－1，]．规律方法 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：(1)换元，u＝ωx＋φ，并求 u 的取值范围；(2)作出 y＝sin u(注意 u 的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域．【训练 1】 求函数 y＝2sin 的最大值和最小值．解 －≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.∴当 sin＝1 时，ymax＝2；当 sin＝0 时，ymin＝0.方向 1 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期【例 2－1】 求下列函数的周期：(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝sin(x∈R)．解 (1)T＝＝π.(2)T＝＝4.方向 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性【例 2－2】 (1)函数 y＝sin 的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数 f(x)＝2sin 是偶函数，则 φ 的值可以是( )A. B. C.D．－解析 (1)令 y＝±1，即 sin＝±1，则 2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为 x＝＋(k∈Z)．令 y＝0，即 sin＝0，则 2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数 y＝sin 的图像的对称中心为(k∈Z)．(2)由 f(x)＝2sin 为偶函数得 φ－＝kπ＋(k∈Z)，即 φ＝kπ＋.∴当 k＝0 时 φ＝.故选 A.答案 (1)x＝＋(k∈Z) (k∈Z)(2)A方向 3 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 单调性【例 2－3】 求函数 y＝2sin 的递增区间．...