高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数yAsin（ωxφ）的图像学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像知识梳理1.四种变换画图方法（1）振幅变换：对于函数 y=Asinx(A＞0,A≠1)的图像可以看作是把 y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1 时），或缩短（当 0＜A＜1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到的.（2）周期变换：对于函数 y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的图像，可以看作是把 y=sinx 的图像上所有点的横坐标缩短（当 ω＞1 时），或伸长（当 0＜ω＜1 时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.（3）相位变换：对于函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把 y=sinx 的图像上所有的点向左（当 φ＞0 时），或向右（当 φ＜0 时）平行移动|φ|个单位得到的.（4）上下平移变换：对于函数 y=sinx+b 的图像，可以看作是把 y=sinx 的图像上所有点向上（当 b＞0 时），或向下（当 b＜0 时）平行移动|b|个单位得到的.2.函数 y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像(1)概念：在正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)中，A 叫振幅，T=叫周期，ωx+φ 叫相位，φ叫初相.（2）图像画法：五点法和变换法.描点法步骤：①列表（ωx+φ 通常取 0，,π, ,2π 这五个值）；②描点；③连线.变换法：常用的变换步骤：①（相位变换）先把 y=sinx 的图像上所有的点向左（当 φ＞0 时），或向右（当 φ＜0时）平行移动|φ|个单位，得函数 y=sin(x+φ)的图像；②（周期变换）再把函数 y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短（当 ω＞1 时），或伸长（当 0＜ω＜1 时）到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图像；③（振幅变换）再把函数 y=sin(ωx+φ)的图像上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1 时），或缩短（当 0＜A＜1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变），得函数 y=Asin(ωx+φ)的图像；④（上下平移变换）再把函数 y=Asin(ωx+φ)的图像上所有点向上（当 b＞0 时），或向下（当 b＜0 时）平行移动|b|个单位，得函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像.3.函数 y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质定义域：R.值域：［-A,A］.当 x=(k∈Z)时，y 取最大值 A+b；当 x=(k∈Z)时，y 取最小值-A+b.周期性：周期函数，周期为.奇偶性：当且仅当 φ=kπ(k∈Z)且 b=0 时，函数 y=Asin(ωx+φ)+b 是奇函数，否则不是奇函数；当且仅当 φ=kπ+ (k∈Z)时，函数 y=Asin(ωx+φ)+b 是偶函数；单调性：单调递增区间是［,］(k∈Z)；单调递减区间是,(k∈Z).对称性：对称中心(,0）(k∈Z)；对称轴直线 x=(k∈Z).知识导学 学习讨论函数 y=Asin(ωx+φ)的性质，要善于采用整体策略，即把 ωx+φ 看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来解决.