高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1．7.1 定积分在几何中的应用1．7.2 定积分在物理中的应用 1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数 f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线 y＝0，x＝a，x＝b 与曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为 S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝f ( x ) d x 续 表f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)<0S＝－ f ( x ) d x (2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有 f(x)>g(x)，那么直线 x＝a，x＝b 与曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为 S＝[ f ( x ) － g ( x )] d x ．2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝ v ( t ) d t ．(2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位：m)，则力 F 所做的功为 W ＝ Fs ；而若是变力所做的功，W 等于其力函数 F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即 W＝F ( x ) d x ．1．由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积(1)如图①所示，f(x)>0，f(x)dx>0，所以所求面积 S＝f(x)dx.(2)如图②所示，f(x)<0，f(x)dx<0，所以所求面积 S＝－f(x)dx.(3) 如 图 ③ 所 示 ， 当 a≤x≤c 时 ， f(x)≥0 ， f(x)dx≥0 ； 当 c≤x≤b 时 ，f(x)≤0，f(x)dx≤0.所以所求面积 S＝f(x)dx＋|f(x)dx|＝f(x)dx－f(x)dx. 2．由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)所围图形的面积(1)如图④所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝[f(x)－g(x)]dx.(2)如图⑤所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝f(x)dx＋|g(x)dx|＝[f(x)－g(x)]dx.(3)如图⑥所示，所求面积 S＝S1＋S2＝[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx＝|f(x)－g(x)|dx. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当 f(x)＜0 时，f(x)与 x＝a，x＝b(a