高中数学 第一章 三角函数 7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教学案

第 1 课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角 α 满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角 α 的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角 α 的函数，我们把它叫作角 α 的正切函数，记作 y ＝ tan _α，其中 α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)与正弦、余弦函数的关系：＝ tan _x．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图．2．正切线单位圆与 x 轴正半轴交于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线 AT，与角 α 的终边或其反向延长线交于点 T.则称线段 AT 为角 α 的正切线．当角 α 的终边在 y 轴上时，角 α 的正切线不存在．3．正切函数的图像和性质 函数性质 y＝tan x图像续表 函数性质 y＝tan x定义域{ x | x ∈ R 且 x ≠ k π ＋， k ∈ Z } 值域R周期性最小正周期为 T＝π奇偶性奇函数单调性在( k π －， k π ＋ )( k ∈ Z ) 上是增加的对称性图像的对称中心( ， 0) k ∈ Z [问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，正切曲线在每一个开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数 y＝|tan x|的周期是吗？提示：不是．y＝|tan x|的周期仍为 π.讲一讲1．已知 tan α＝2，利用三角函数的定义求 sin α 和 cos α.[尝试解答] 在 α 的终边上取一点 P(a，2a)且 a≠0，则有 x＝a，y＝2a，r＝＝|a|. tan α＝2>0，∴α 在第一象限或第三象限．当 α 在第一象限时，a>0，则 r＝a.∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.当 α 在第三象限时，a<0，则 r＝－a.∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.1．若 P(x，y)是角 α 终边上任一点，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，其中 r＝.2．当角 α 的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角 α 的终边经过点 P(－b，4)且 cos α＝－，求 tan α 的值．解：由已知可知点 P 在第二象限，∴b＞0. co...