高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例学案 新人教B版必修3-新人教B版高一必修3数学学案

1．3 中国古代数学中的算法案例 1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法． 2.掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤． [学生用书 P19])中国古代的三个算法案例(1)等值算法在我国古代也称为更相减损之术，它是用来求两个正整数最大公约数的算法．其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则所得数就是所求的最大公约数．(2)割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率 π 的一种方法．(3)秦九韶算法是我国宋代数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)(1)求两个正整数的最大公约数可以用更相减损之术．( )(2)利用秦九韶算法计算时，乘法运算与加法运算次数相等．( )答案：(1)√ (2)× 2．用更相减损之术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法运算的次数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选 C.294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42＝42，共做 4 次减法运算．3．用秦九韶算法计算多项式 f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1 当 x＝0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6，6 B．5，6C．5，5 D．6，5答案：A 用等值算法求最大公约数[学生用书 P19] 用等值算法求 319 和 261 的最大公约数．【解】 319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29.即(319，261)→(261，58)→(203，58)→(145，58)→(87，58)→(58，29)→(29，29)．所以 319 与 261 的最大公约数是 29.等值算法的步骤(1)判断两数是否都为偶数，若是，则都除以 2 直到所得两数不全为偶数．(2)用较大的数减去较小的数，将差和较小的数构成一对新数，继续用较大数减去较小数，重复执行．(3)当差和较小数相等时，结束执行，此时差(或较小数)为不全为偶数的两数的最大公约数． [注意] 原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积. 下列关于利用更相减损之术求 156 和 72 的最大公约数的说法正确的是( )A．都是偶数必须约简B．可以约简，也可以不约简C．第一步作差为 156－72＝84，第二步作差为 72－84＝－12D．以上说法都不正确解析：选 B.A 项约简是为了使运算更加简便快速，并不是一定需要...