1.3 中国古代数学中的算法案例学习目标 1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法．知识点一 更相减损之术更相减损之术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二 割圆术1．割圆术的算法S1 假设圆的半径为 1，面积为 S，圆内接正 n 边形面积为 Sn，边长为 xn，边心距为 hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即 n＝6，则正六边形的面积 S6＝6×；S2 利用公式 S2n＝Sn＋n··xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积．因为圆的半径为 1，所以随着 n 的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”知识点三 秦九韶算法思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式 f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为 f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当 x＝5 时的值，为什么比常规逐项计算省时？答案 从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．梳理 秦九韶算法的一般步骤：把一个 n 次多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1＝anx ＋ a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x ＋ a n－2，v3＝v2x ＋ a n－3，…vn＝vn－1x ＋ a 0，这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式 的值．1．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．( √ )2．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．( × )3．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．( √ )题型...
