第 2 课时 等比数列的性质及应用知识点一 等比中项 [填一填]如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G 2 ＝ ab ，G＝±.我们称 G 为 a，b 的等比中项．[答一答]1．相对于等差中项而言，等比中项有怎样的特点？提示：(1)只有同号的两个数才有等比中项．(2)等比中项有两个，它们互为相反数．知识点二 等比数列的性质 [填一填](1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．(2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 aman＝ a paq.(3)数列{λan}(λ 为不等于 0 的常数)仍是公比为 q 的等比数列；若{bn}是公比为 q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq ′ 的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；数列{|an|}是公比为| q | 的等比数列．(4)在数列{an}中每隔 k(k∈N＋)项取出一项，按原来的顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为 q k ＋ 1 .(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为 lg q 的等差数列．(6)当 m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．(7)等比数列中的任意一项均不为 0，即 an≠0.[答一答]2．等比数列与指数函数的关系．提示：(1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1，可以整理为 an＝()·qn.当 q>0 且 q≠1 时，y＝()·qx 是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此，数列 {an}即{·qn}中的各项所表示的点(n，kqn)(k＝)离散地分布在函数 y＝k·qx(x∈R)的图像上，所以可以借助指数函数 y＝qx(q>0，且 q≠1)的性质来研究等比数列的性质．(2)等比数列具有的单调性：1．根据等比数列的定义可知，在等比数列中的公比 q≠0，任意一项都不为零．当 q＝1 时，这个等比数列为常数列．2．判定一个数列是等比数列的方法(1)定义法：利用定义式＝q.(2)等比中项法：利用 a＝anan＋2.(3)通项公式法：利用 an＝a1qn－1(或 cqn).类型一 等比中项的运用 【例 1】 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7的等比中项．【思路探究】 根据已知条件，可得到关于首项 a1和公比 q 的方程组，求出 a1和 q 的值后问题可解．【解】 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1.由已知条件，得即②÷①，得 q(1－q)＝，解得 q＝.∴a1＝＝96.设 G 是 a5，a7的等比中项，则有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9.故 a5，a7的等比中项是±3.规律方法 本题要注意同号的两个数的等比中项...
