第 2 课时 数列的综合问题知识点一 基本公式 [填一填]若{an}是等差数列，其公差为 d，则 an＝a1＋ ( n － 1) d ，Sn＝＝na1＋d.若{an}是等比数列，其公比为 q，则 an＝a1q n － 1 ，Sn＝＝.[答一答]1．请类比等差数列前 n 项和的性质，说一说等比数列前 n 项和的性质．提示：(1)项的个数的“奇偶”性质：在等比数列{an}中，公比为 q.① 若共有 2n 项，则 S 偶S 奇＝q；② 若共有 2n＋1 项，则 S 奇－S 偶＝(q≠1 且 q≠－1)．(2)“片断和”性质：在等比数列{an}中，公比为 q，前 m 项和为 Sm(Sm≠0)，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为 qm的等比数列，即等比数列的前 m 项的和与以后依次 m 项的和构成等比数列．(3)“相关和”性质：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q 为公比)．知识点二 数列求和方法 [填一填]数列求和的一般方法有裂项相消法，乘公比错位相减法，分组求和法，倒序相加法，公式法．[答一答]2．请简单说一说如何求一般数列的和？提示：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形 ，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．1．数列求和的常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前 n 项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前 n 项和公式直接求解，但要注意对 q 分 q＝1 与 q≠1 两种情况进行讨论；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前 n 项和；(4)an＝bn·cn，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法求{an}前 n 项和；(5)an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前 n 项和；(6)an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；(7)an＝(－1)nf(n)，可采用相邻两项合并求解，即采用“并项法”．2．数列求和时应注意的问题(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(3)求一般数列的前 n 项和，无通法可循．我们要掌握某些特殊数列前 n 项和的求法，触类旁通．类型一 等差数列、等比数列的综合问题 【例 1】 已知数列{an}是等比数列，其中 a7＝1，且 a4，a5＋1，a6成等差数列．求数列{an}的通项公式．【思路探究】 在对数列的研究思路中，关键是对下标的研究．利用条件求出 a1与 q是基...
