高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案VIP专享

1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数 y＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一 正切函数的性质思考 1 正切函数的定义域是什么？答案 {x|x∈R 且 x≠＋kπ，k∈Z}.思考 2 诱导公式 tan(π＋x)＝tan x，x∈R 且 x≠＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 周期性.思考 3 诱导公式 tan(－x)＝－tan x，x∈R 且 x≠＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性.思考 4 从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？答案 是.梳理 函数 y＝tan x 的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R 且 x≠kπ＋，k∈Z}值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间(k∈Z)内都是增函数知识点二 正切函数的图象思考 1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－，)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆.(2)把单位圆的右半圆分成 8 等份，分别在单位圆中作出正切线.(3)描点(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正切线的长度).(4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 y＝tan x，x∈R 且 x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互平行的直线 x＝＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数 y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？答案 能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－.梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线 x＝＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.类型一 正切函数的定义域例 1 求下列函数的定义域.(1)y＝；(2)y＝lg(－tan x).解 (1)要使函数 y＝有意义，必须且只需所以函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}.(2)因为－tan x>0，所以 tan x<.又因为当 tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得 kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)，所以函数的定义域是{x|kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}.反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟...