第 4 课时 等比数列的综合应用Q\s\up7(情景引入) 如今手机越来越普遍，大街小巷都可看到手机的风采，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用 10 分钟将它传给两个人，这两个人又用 10 分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？X\s\up7(新知导学) 1．用错位相减法求数列的前 n 项和如果数列{an}是等差数列，公差为 d；数列{bn}是等比数列，公比为 q，则求数列{anbn}的前n 项和就可以运用 错位相减法 .方法如下：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.当 q＝1 时，{bn}是常数列，Sn＝b1(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝；当 q≠1 时，则： qS n ＝qa1b1＋qa2b2＋qa3b3＋…＋qanbn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，∴(1－q)Sn＝a1b1＋b2(a2－a1)＋b3(a3－a2)＋…＋bn(an－an－1)－anbn＋1＝a1b1＋d·－anbn＋1.∴Sn＝.2．等比数列前 n 项和性质(1)数列{an}为等比数列，Sn为其前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成 等比数列 .(Sn≠0)(2)若某数列前 n 项和公式为 Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N＋)，则{an}成 等比数列 .(3)若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则①Sn＋m＝ S n＋ q n S m .② 在等比数列中，若项数为 2n(n∈N＋)，则＝ q .Y\s\up7(预习自测) 1．若等比数列{an}满足 anan＋1＝64n，则公比为( C )A．2 B．4C．8 D．16[解析] 本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力．1 an·an＋1＝64n，∴an－1·an＝64n－1，∴＝＝q2＝＝64，∴q＝8.2．在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6等于( A )A．140B．120C．210 D．520[解析] q2＝＝＝2，∴S6＝＝＝(1－q6)＝＝＝140.3．《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( D )A．1＋＋＋…＋＝2－B．1＋＋＋…＋＋…<2C．＋＋…＋＝1D．＋＋…＋＋…<1[解析] 据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列， ＋＋…＋＋…＝1－<1.故选 D．4．等比数列{an}的公比为，且 S3＝1，则 S6等于( B )A．B．C． D．[解析] q＝，S3＝＝2a1＝a1＝1，∴a1＝.∴S6＝＝＝.5．(2018·全国卷Ⅰ理，14)记 Sn为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 S6＝ － 63 .[解析] 依题意，作差得 an...
