§2 综合法与分析法综 合 法阅读下面的例题．例：若实数 a，b 满足 a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为 a＋b＝2，所以 2a＋2b≥2＝2＝2＝4，故 2a＋2b≥4 成立．问题 1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题 2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中 P 为条件，Q 为结论.分 析 法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件直到找到一个明显的证据．问题 1：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题 2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题 3：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用 Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：→→→…→得到一个明显成立的条件 1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：＋≥4.[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析] 法一： a，b 为正数，且 a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.法二： a，b 为正数，∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，∴(a＋b)≥4，又 a＋b＝1，∴＋≥4.法三： a，b 为正数，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．[一点通] 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是...
