§3 反_证_法1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2.求证：a，b，c 不可能都是奇数．问题 1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题 2：a，b，c 不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件 a2＋b2＝c2吗？提示：a，b，c 都是奇数．此时不满足条件 a2＋b2＝c2.1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．用反证法证明否(肯)定式命题[例 1] 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[思路点拨] 此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．[精解详析] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即 a＋c＋2＝4b，而 b2＝ac，即 b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝，从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．[一点通] (1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题．1．已知 a 是整数，a2是偶数，求证：a 也是偶数．证明：假设 a 不是偶数，则 a 为奇数．设 a＝2m＋1(m 为整数)，则 a2＝4m2＋4m＋1. 4(m2＋m)是偶数，∴4m2＋4m＋1 为奇数，即 a2为奇数，与已知矛盾．∴a 一定是偶数．2.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M 是 A1D1 的中点，点 N 是 CD的中点，用反证法证明直线 BM ...
