高中数学 第七章 复数 7.3.1 复数的三角表示式学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案

7．3* 复数的三角表示7．3.1 复数的三角表示式[目标] 1.知道复数的模和辐角的定义；2.会求复数的模和辐角主值；3.能求出复数的三角形式．[重点] 复数的代数形式向三角形式的转换．[难点] 复数的代数形式与三角形式的互换． 要点整合夯基础 知识点一 复数的三角形式[填一填]1．定义：r (cos θ ＋ isin θ ) 叫做复数 z＝a＋bi 的三角表示式，简称三角形式．其中，r 是复数 z 的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi 的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．非零复数 z 辐角 θ 的多值性以 x 轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角 θ 叫复数 z＝a＋bi 的辐角，因此复数 z 的辐角是 θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．3．辐角主值(1)表示法：用 argz 表示复数 z 的辐角主值．(2)定义：适合[0,2π)的角 θ 叫辐角主值．(3)唯一性：复数 z 的辐角主值是确定的、唯一的．[答一答]1．当 z＝0 时，其辐角如何？提示：z＝0 时，其辐角是任意的．2．如何确定复数三角形式中辐角、辐角主值？提示：可以运用三角函数值求解．知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化[填一填]复数 z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为[答一答]3．将复数 z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式 z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意什么？提示：将复数 z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式 z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意：(1)r＝.(2)cosθ＝，sinθ＝，其中 θ 终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若 tanθ＝(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当 a＝0，b>0 时，argz＝. 典例讲练破题型 类型一 代数形式与三角形式的转换[例 1] 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ.[分析] 由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向．变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数 z 对应点所在象限(此处可假定 θ 为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”．这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点 Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定 θ 为锐角)，余弦“－cos...