高中数学 第七章 复数 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案

7．3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义[目标] 1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题；2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. [重点] 复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用．[难点] 复数三角形式的乘除运算． 要点整合夯基础 知识点一 复数的三角形式的运算[填一填]设 z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则(1)乘法：z1· z 2＝ r 1r2[cos( θ 1＋ θ 2) ＋ isin( θ 1＋ θ 2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．(2)除法：z1÷ z 2＝＝ [cos( θ 1－ θ 2) ＋ isin( θ 1－ θ 2)](其中 z2≠0)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)． 知识点二 复数三角形式乘、除运算的几何意义[填一填]两个复数 z1，z2 相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点 O 按逆时针方向旋转一个角 θ2(如果 θ2<0，就要把OZ1按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的 r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积 z1z2.这就是复数乘法的几何意义．z2≠0，的几何意义是把 z 的对应向量OZ1按顺时针方向旋转一个角 θ2(如果 θ2<0，就要把OZ1按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商. 典例讲练破题型 类型一 复数的三角形式的乘、除运算[例 1] (cos＋isin)·(cos＋isin)．[分析] 复数的三角形式的乘除运算较代数形式更为简便，要熟记公式．[解] (cos＋isin)·(cos＋isin)＝·[cos(＋)＋isin(＋)]＝(cos＋isin)＝(＋i)＝＋i.r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.[变式训练 1] 设复数 z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数 z2＋z 的模和辐角．解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)＝2coscos＋i(2sincos)＝2cos(cosθ＋isinθ)＝－2cos. θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴－2cos>0，所以复数 z2＋z ...