1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1课堂导学三点剖析一、分类加法计数原理的简单应用【例 1】某学生去书店，发现三本好书，决定至少买其中一本，则该生的购书方案有______种.解析:“至少”问题往往需要发类，在三本好书中至少买一本，可分为在类：恰买一本，有 3种方种；恰买 2 本，有 3 种种方法，恰买 3 本，有 1 种方案，从而共有 3+3+1=7 种方法。温馨提示 分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和，就是“整体”（即完成一件事的方法）分成若干个互不相交的类，使得每一类中的元素的个数易于计算.在分类过程中要按照统一的标准进行.本题中是按照购买的本数分成了三类.二、合理地选择分类标准是用好分类加法计数原理的关键【例 2】将一个正三角形的各边都 n 等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)?解析：如图，不妨设正△ABC 的边长为 n，首先考虑“头朝上”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点下方的三角形.边长为 1 的“头朝上”的三角形有1+2+…+n=2)1( nn个.边长为 2 的“头朝上”的三角形有1+2+…+(n-1)=2)1(nn 个. …边长为 n 的“头朝上”的三角形只有 1 个.从而，“头朝上”的三角形共有nknnnkk16)2)(1(2)1(个.然后考虑“头朝下”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点上方的三角形.边长为 1 的“头朝下”的三角形有1+2+…+(n-1)= 2)1(nn 个.边长为 2 的“头朝下”的三角形有1+2+…+（n-3）=2)2)(3(nn个.边长为 m 的“头朝下”的三角形有1kmnk121=1k 个(n+1＞2m).故当 n 为奇数时，“头朝下”的三角形有213111knknkkkk.=24)32)(1)(1(nnn个；各个击破【类题演练 1】在正方体的 8 个顶点中，能构成一个直角三角形的 3 个顶点的三点组的个数是( )A.24 B.36 C.48 D.56解析：注意到每个正方形或矩形各有 4 个“直角三角形三点组”，现正方体共有 6 个正方形侧面及 6 个矩形对角面，故可视为有 12 类方案，即 12 个矩形或正方形，由分类加法计数原理得 4×12=48 个“直角三角形三点组”.故选 C.答案：C【变式提升 1】在十进制数中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为( )A.1 001 B.1 010 C.1 011 D.1 013解析：设...
