二 绝对值不等式1.绝对值三角不等式知识梳理 1.绝对值的几何意义 实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为___________的点 A 到___________________的距离. 对于任意两个实数 a,b，设它们在数轴上的对应点分别为 A，B，那么|a-b|的几何意义是数轴上 A，B 两点之间的___________，即线段 AB 的___________.2.绝对值三角不等式 如果 a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当___________时，等号成立.绝对值三角不等式的几何意义是___________.3.三个实数的绝对值不等式 如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当___________时，等号成立.知识导学 在掌握本节知识的过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设 a∈R,则|a|=)0(,)0(,时当时当aaaa|a|≥0，-|a|≤a≤|a|,|a|2=a2.掌握绝对值的运算性质：|ab|=|a|·|b|,|ba |=||||ba (b≠0),2a=|a|. 含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|;|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b|(ab≥0);|a-b|=|a|+|b|(ab≤0);|a|-|b|=|a+b|［(a+b)b≤0］;|a|-|b|=|a-b|［(a-b)b≥0］.疑难突破 1.对绝对值三角不等式的理解 绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由 ab>0,ab<0，ab=0 三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题 .“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往再所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯. 2.对绝对值三角不等式几何意义的理解 用向量 a,b 替换实数 a,b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量 a,b 不共线时，a+b,a,b构成三角形，有|a+b|<|a|+|b|.当向量 a,b 共线时，a,b 同向（相当于 ab≥0)时，|a+b|=|a|1+|b|;a,b 异向（相当于 ab<0）时，|a+b|<|a|+|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a+b|是不小于||a|-|b||的，|a|-|b|不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确.2
