1.2.1 集合之间的关系课堂导学三点剖析一、子集、真子集、集合相等的概念【例 1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1)对任意的集合 A,有A.(2)如果 AB 且 A≠B,那么 B 必是 A 的真子集.(3)如果 A=B,则集合 A 是集合 B 的子集,但一定不是 B 的真子集.(4)如果对任意的 x0∈A,都能得到 x0∈B,则集合 A 是集合 B 的真子集.思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质.解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合 A 是否非空,因此说法错误,应有A.(2)集合 B 是集合 A 的子集,实际上有两种可能:一是 B 是 A 的真子集;二是集合 A 与集合 B 相等. AB,又 A≠B,∴B 必是 A 的真子集.故此说法正确.(3)由 A=B 知 AB 且 BA.A、B 两集合的元素完全相同,A 中的任一元素必是集合 B 中的元素,但集合 B 中不存在元素属于 B 但不属于 A.故集合 A 是集合 B 的子集,但不是 B 的真子集.故此说法正确.(4)由对任意的 x0∈A,能得到 x0∈B,故集合 A 是集合 B 的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误.二、根据两集合间的关系进行有关运算【例 2】已知 A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B.思路分析:根据两集合相等的定义,欲证 A=B,必须证明 AB 和 BA 两方面.证明:(1)设任意 x0∈A,则 x0=2n+1,n∈Z.当 n 为偶数,即 n=2k,k∈Z 时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;当 n 为奇数,即 n=2k-1,k∈Z 时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z.∴x0∈B.∴AB.(2)设任意 y0∈B,则 y0=4k±1,k∈Z,若 y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B.若 y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴BA.综上知,A=B.温馨提示 本题同学们容易出现“令 2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性.三、元素与集合、集合与集合之间的关系【例 3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)0 与{0};(2)0 与;(3)与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}.思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合，还要分清是什么关系.解:(1)0∈{0}.(2)0.(3)与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系.∴{0}.(4){0,1}是含有两个元素 0,1 的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合,它只含有一个元素.∴{0,1}≠{(0,1)}.(5)当 a=...
