1 集合之间的关系课堂导学三点剖析一、子集、真子集、集合相等的概念【例 1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正
(1)对任意的集合 A,有A
(2)如果 AB 且 A≠B,那么 B 必是 A 的真子集
(3)如果 A=B,则集合 A 是集合 B 的子集,但一定不是 B 的真子集
(4)如果对任意的 x0∈A,都能得到 x0∈B,则集合 A 是集合 B 的真子集
思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质
解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
此处没说集合 A 是否非空,因此说法错误,应有A
(2)集合 B 是集合 A 的子集,实际上有两种可能:一是 B 是 A 的真子集;二是集合 A 与集合 B 相等
AB,又 A≠B,∴B 必是 A 的真子集
故此说法正确
(3)由 A=B 知 AB 且 BA
A、B 两集合的元素完全相同,A 中的任一元素必是集合 B 中的元素,但集合 B 中不存在元素属于 B 但不属于 A
故集合 A 是集合 B 的子集,但不是 B 的真子集
故此说法正确
(4)由对任意的 x0∈A,能得到 x0∈B,故集合 A 是集合 B 的子集,不能确定是否为真子集
故此说法错误
二、根据两集合间的关系进行有关运算【例 2】已知 A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B
思路分析:根据两集合相等的定义,欲证 A=B,必须证明 AB 和 BA 两方面
证明:(1)设任意 x0∈A,则 x0=2n+1,n∈Z
当 n 为偶数,即 n=2k,k∈Z 时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;当 n 为奇数,即 n=2k-1,k∈Z 时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z
(2)设任意 y0∈B,则 y0=4k±1,k∈Z,若 y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B
