高中数学 第七章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.3 余弦函数的性质与图像学案（含解析）新人教B版必修第三册-新人教B版高一必修第三册数学学案

7．3.3 余弦函数的性质与图像[课程目标] 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间和最值．2．会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和 y＝Acos(ωx＋φ)的图像．[填一填]1．余弦函数的性质2.余弦函数的图像把正弦函数 y＝sinx 的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数 y＝cosx 的图像，该图像叫做余弦曲线．[答一答]1．怎样得到余弦函数的图像？提示：(1)描点法：按照①列表，②描点，③连线的顺序作图．(2)平移法：由 y＝cosx＝sin，x∈R 知，余弦函数 y＝cosx 的图像与正弦函数 y＝sin 的图像相同，于是只要把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图像．(3)五点法：观察余弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定余弦函数图像形状时起着关键的作用，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五点描出后，余弦函数 y＝cosx(x∈[0,2π])的图像形状就基本确定了，然后再把这一段的图像向左向右延伸，即得 y＝cosx 在 R 上的图像．2．怎样求含有三角函数式的函数值域？提示：到目前为止，运用所学知识可以求解的类型主要有：(1)y＝Asin(ωx＋φ)型，值域为[－A，A](A>0)．(2)y＝或 y＝型，解决这类问题的常用方法：反解 sinx(或 cosx)，得到 sinx＝f(y)(或 cosx＝f(y))，再利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1)，列出|f(y)|≤1，解出 y 的范围，即为所求函数的值域．(3)y＝型，一般用数形结合法求解．(4)y＝asin2x＋bsinx＋c(或 y＝acos2x＋bcosx＋c)型，可以通过配方法转化为二次函数在区间 sinx∈[－1,1]上的最值求解．(5)y＝sinx＋(a>0)型，转化为利用函数 y＝x＋(p>0)型函数值域(最值)，即利用函数的单调性．类型一 余弦函数的定义域和值域[例 1] (1)求 f(x)＝的定义域．(2)求下列函数的值域．①y＝－2cosx－1；②y＝；③y＝cos2x－3cosx＋2.[解] (1)由 2cosx－1≥0 知 cosx≥，作出 y＝cosx 在 x∈[－π，π]的图像知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴定义域为.(2)① －1≤cosx≤1，∴－2≤－2cosx≤2，∴－3≤－2cosx－1≤1.∴函数 y＝－2cosx－1 的值域为[－3,1]．② 由 y＝可得(1－2y)cosx＝y，cosx＝， |cosx|≤1，∴cos2x≤1，∴≤1，即 3y2－4y＋1≥0，∴y≤或 y≥1.∴函数 y＝的值域为∪[1，＋∞)．③ 令 t＝cosx， x∈R，∴t∈[－1,1]．∴原函数可化为 y＝t2－3t＋2＝2－，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝，∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．∴t＝－1 时...