1.2.1 集合之间的关系预习导航课程目标学习脉络1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出一些给定集合的子集．2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.1．维恩(Venn)图我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．2．子集、真子集、集合相等的概念思考 1“∈”与“⊆”有何区别与联系？提示：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间，包含关系(⊆，)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合之间的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N，1∈{1}等，但不能写成 0＝{0}或 0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3} {1,2,3,4}等．3．子集、真子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合 A，都有∅⊆ A .(2)任何一个集合 A 都是它本身的子集，即 A ⊆ A .(3)对于集合 A，B，C，如果 A⊆B，B⊆C，则 A ⊆ C .(4)对于集合 A，B，C，如果 AB，BC，则 A C .思考 2∅与{∅}的关系如何？提示：∅{∅}与∅∈{∅}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把∅看成集合{∅}中的元素来考虑．4．集合关系与其特征性质之间的关系设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有集合间的关系特征性质间的关系A⊆Bp ( x ) ⇒ q ( x ) A⊇Bq ( x ) ⇒ p ( x ) A＝Bp ( x ) ⇔ q ( x ) 思考 3 已知集合 A 的特征性质为 p(x)，集合 B 的特征性质为 q(x)．“如果 p(x)，那么q(x)”是正确的命题，试问集合 A 和 B 的关系如何？并举例说明．提示：设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，“如果 p(x)，那么 q(x)”是正确的命题，则有 p(x)⇒q(x)，即 x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有 A⊆B.举例说明如下：A＝{x|x 是 6 的约数}，B＝{x|x 是 12 的约数}，即集合 A 的特征性质 p(x)是：x 是 6 的约数；集合 B 的特征性质 q(x)是：x 是 12 的约数．而 6 的约数是 1,2,3,6；12 的约数是 1,2,3,4,6,12，由此得知，“如果 p(x)，那么 q(x)”是正确的命题，则有“如果 x 是 6 的约数，那么 x 是 12 的约数”，即 x∈A⇒x∈B，所以 A⊆B.
