1.2 集合之间的关系与运算自主整理1.集合之间的关系(1)如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A),记作 AB 或 BA;若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q, 或 Q 不包含 P ,记作 PQ.(2)若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 AB.(3)Venn 图(维恩图):在平面内用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示集合之间的关系,如图 1-2-1:图 1-2-1(4)简单性质:①AA,也就是说任何集合是它本身的子集.② 空集是任意集合的子集,也就是说,对任意集合 A,都有A;空集是任意非空集合的真子集.③ 若 AB,BC,则 AC;若 AB,BC,则 AC.④ 集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若 AB 且 BA,则 A=B;反之,若 A=B,则 AB且 BA.(5)集合关系与其特征性质之间的关系:一般地,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果 AB,则 x∈Ax∈B;反之,如果 p(x)q(x),则 A 一定是 B 的子集.如果 A=B,则 p(x)q(x);反之,如果 p(x)q(x),则 A=B.2.交集与并集(1)一般地,对于给定的两个集合 A、B,由属于 A 又属于 B 的所有元素 构成的集合,叫做集合A、B 的交集,记作 A∩B,即交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B} .(2)一般地,对于给定的两个集合 A、B,由两个集合的所有元素构成的集合,称为集合 A 与 B的并集.记作 A∪B,即并集 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} .(3)简单性质:①A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪=∪A=A,A∪B=B∪A;③A∩BA∪B;④ABA∩B=A,ABA∪B=B.3.全集与补集(1)如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常记作U.(2)如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合,叫做 A 在U 中的补集,即若 U 是一个集合,AU,则A={x|x∈U 且 xA},全集通常用矩形区域表示,如图 1-2-2.图 1-2-2(3)简单性质:①(A)=A;②A∩A=;③A∪A=U.高手笔记1.对于给定的问题,首先要做的是判断到底是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系,然后再应用相应的符号.“∈”与“”这两个符号无论在意义上还是在书写上都很相近,要仔细识别和书写.判断集合与集合间的关系关键是要弄清集合中的元素是什么.2.注意子集符号的应用.AB 是指 AB 或 A=B.若 AB,可形象理解为 B 中元素至少比 A 中元素多一个.A=B 可从 A 的元素与 B ...
