第 2 节 绝对值不等式[核心必知]1．绝对值的几何意义(1)实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离．(2)对于任意两个实数 a，b，设它们在数轴上的对应点分别为 A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上 A，B 两点之间的距离，即线段 AB 的长度．2．绝对值三角不等式(1)如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a，b 换成向量 a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．3．三个实数的绝对值不等式如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当( a － b )( b － c )≥0 时，等号成立．[问题思考]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：| a | － | b |≤| a ＋ b | ， | a | － | b |≤| a － b |≤| a | ＋ | b | ．2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式 | a | － | b |≤| a ＋ b |≤| a | ＋ | b | ， 右侧“＝”成立的条件是 ab ≥0 ， 左侧 “＝”成立的条件是 ab ≤0 ， 且 | a |≥| b | ；不等式 | a | － | b |≤| a － b |≤| a | ＋ | b | ， 右侧 “＝”成立的条件是 ab ≤0 ， 左侧“＝”成立的条件是 ab ≥0 且 | a |≥| b | ．3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？提示：在数轴上 ， a ， b ， c 所对应的点分别为 A ， B ， C ， 当点 B 在点 A ， C 之间时 ， | a － c | ＝ | a － b | ＋ | b － c | ；当点 B 不在点 A ， C 之间时 ， | a － c | ＜ | a － b | ＋ | b － c | ． (1)以下四个命题：① 若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；② 若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③ 若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；④ 若 AB≠0，则 lg≥( lg|A|＋lg|B|)．其中正确的命题有( )A．4 个 B．3 个C．2 个 D．1 个(2)不等式≥1 成立的充要条件是________．[精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论．(1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a||a－b|＋2|a|，...
