高中数学 第一讲 坐标系 三 第一课时 圆的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

第 1 课时 圆的极坐标方程学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．知识点一 曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上 ，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤① 建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一点；② 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；③ 将列出的关系式整理、化简；④ 证明所得方程就是曲线的极坐标方程．知识点二 圆的极坐标方程思考 1 在极坐标系中，点 M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有 ρ 或 θ 吗？答案 不一定．思考 2 圆心在极点，半径为 2 的圆的极坐标方程是什么？答案 ρ＝2.梳理 圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r,0)ρ＝2 r cos θ 圆心在点ρ＝2 r sin θ (0≤θ<π)圆心在点(r，π)ρ＝－ 2 r cos θ 圆心在点ρ＝－ 2 r sin θ (－π<θ≤0)类型一 求圆的极坐标方程例 1 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程．解 在圆周上任取一点 P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．引申探究若圆心在(3,0)，半径 r＝2，求圆的极坐标方程．解 设 P(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，即 ρ2＝6ρcosθ－5.当 O，P，C 共线时此方程也成立．反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任意一点的极坐标为 M(ρ，θ)．(2)在极点、圆心与 M 构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程 f(ρ，θ)＝0并化简．(3)验证极点、圆心与 M 三点共线时，点 M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．跟踪训练 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 C，半径为 r＝3.求圆 C 的极坐标方程．解 设 M(ρ，θ)为圆 C 上任一点，易知极点 O 在圆 C 上，设 OM 的中点为 N，∴△OCM 为等腰三角形，则|ON|＝|OC|cos，∴|OM|＝2×3cos，则 ρ＝6cos 即为圆 C 的极坐标方程．类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化命题角度 1 直角坐标方程化极坐标方程例 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方...