高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程课堂导学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

三 简单曲线的极坐标方程课堂导学三点剖析一、圆的极坐标方程【例 1】 写出圆心在(3,0)且过极点的圆的极坐标方程,并化为直角坐标方程.解：由 ρ=2acosθ 及题意 a=3,θ∈［- 2 , 2 ］,得 ρ=6cosθ,即 ρ2=6ρcosθ,由 x2+y2=ρ2,ρcosθ=x,得x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.温馨提示 直角坐标方程与极坐标方程的互化,最重要的是记熟并会运用互化公式:.sin,cosyx;其次还要注意“凑”出公式的形式.各个击破类题演练 1把 x2+y2=x 化为极坐标方程.解:由公式得 ρ2=ρcosθ,即 ρ=cosθ.变式提升 1从极点作圆 ρ=2acosθ 的弦,求弦的中点的轨迹方程.解:设曲线上动点 M 的坐标为(r,φ),则.21,r把 θ=φ 和 ρ=2r 代入 ρ=2acosθ,得2r=2acosφ,即 r=acosφ(- 2 ≤φ≤ 2 ),即其轨迹是以( 2a ,0)为圆心,半径为 2a 的圆.二、极坐标方程与直角坐标方程互化【例 2】 写出圆心在(2, 2 )处且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.解：由 ρ=2asinθ,0≤θ≤π,得ρ=4sinθ,0≤θ≤π,变为 ρ2=4ρsinθ.由.sin,cosyx得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4.温馨提示1 当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与 x 轴同向,这样,圆的极坐标方程十分简单,为 ρ=R.类题演练 2写出圆心在(-1,1)处,且过原点的圆的直角坐标方程,并化为极坐标方程.解:圆的半径为 R=2)1()1(22,故方程为(x+1)2+(y-1)2=2, 变为 x2+y2=-2(x-y),即 ρ=2(sinθ-cosθ).变式提升 2画出极坐标方程(θ- 4 )ρ+( 4 -θ)sinθ=0 的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(θ- 4 )(ρ-sinθ)=0,∴θ- 4 =0,即 θ= 4 为一条射线,或 ρ-sinθ=0 为一个圆.三、动点的轨迹问题【例 3】 从极点作圆 ρ=4sinθ 的弦,求各条弦的中点的轨迹方程.解：设动点为 M(r,φ),则.21,r把 θ=φ 和 ρ=2r 代入 ρ=4sinθ,得 2r=4sinφ,即 r=2sinφ,-2 ≤φ≤2 . 其轨迹是以（2,0）为圆心,以 2 为半径的圆.温馨提示 寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹...