高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（二）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

1．1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．知识点一 正弦定理及其变形1．定理内容：＝＝＝2R．2．正弦定理的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝a ∶ b ∶ c ；(2)＝＝＝＝2 R ；(3)a＝2 R sin __A，b＝2 R sin __B，c＝2 R sin __C；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝．知识点二 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知 a，b 和 A 解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得 sin B＝，① 若>1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解．② 若＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解．③ 若<1，则满足条件的三角形个数为 1 或 2 ， 即一解或两解 ．(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐①a＝bsin A；② a≥b一解角bsin Ab一解a≤b无解知识点三 三角形面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝ah，其中 a 为△ABC 的一边长，而 h 为该边上的高的长．(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中 r，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．(4)S△ABC＝(其中 p＝)．题型一 三角形解的个数的判断例 1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°.解 (1)a＝10，b＝20，a20sin 60°＝10，∴absin A，∴bsin A